|
Задача: Есть 12 монет. Среди них ОДНА фальшивая (она весит больше или меньше - НЕИЗВЕСТНО). Как ИМЕННО ЗА ТРИ взвешивания с помощью рычажных весов выявить фальшивую? |
|
Решение №1: |
|
Делим на три кучки A, B, C по четыре монетки в каждой. [A1A2A3A4], [B1B2B3B4 ], [C1C2C3C4]. Взвешивание №1 A1A2A3A4 vs B1B2B3B4 За первое взвешивание выявляем эталонную четверку [NNNN] Результаты: 1) вес одинаковый => (следовательно) фальшивка в кучке [C1C2C3C4]. За следующие два взвешивания узнаем, какая именно. Во втором взвешивании сравниваются [C1C2C3] vs [NNN]. Если “равно”, то фальшивка C4. Если тяжелее/легче, то фальшивка в кучке и [C1C2C3] и эта фальшивка тяжелая/легкая. В третьем взвешивании сравниваем любые две монеты из кучки [C1C2C3] между собой… если “равно”, то фальшивка не взвешивалась, а если «не равно», то фальшивка из двух та, которая тяжелая/легкая. Есть и другой способ
нахождения фальшивки за 2 оставшихся взвешивания из кучки [C1C2C3C4] (способ по парам): в паре [C1C2] берется одна монетка и сравнивается
с одной эталонной монеткой (это второе взвешивание), если весят одинаково, то
фальшивку из пары на весы не клали, если вес разный, то фальшивка на весах. Третье взвешивание проводится для другой пары [C3C4] всё то же и так же. 2) Четверки не в равновесии (тяжелее или легче). Запомним какое именно было неравновесие: тяжелее или легче (допустим, что кучка [A1A2A3A4] тяжелее). В результате имеем две "сомнительные" четверки [A1A2A3A4], [B1B2B3B4 ] и одну эталонную, оставшуюся [C1C2C3C4] или уже назовем её как [NNNN]. Во втором взвешивании сравниваются [A1NNN] vs [B1A2A3A4 ] (не используются: B2B3B4). - Если вес одинаковый, то фальшивка находится среди неиспользованных монеток B2B3B4 и в данном случае эта троица из лёгкой кучки [B1B2B3B4 ], то есть лёгкая фальшивка в этой тройке должна быть найдена среди B2B3B4, что на практике означает ТРЕТЬЕ взвешивание любых двух монет из этой тройки (одна легче => она фальшивка, обе «равны» => фальшивку на весы не клали). - Если неравенство первого взвешивания не изменилось, то есть «передвижения монет» никак не повлияли на результат (направление неравенства, чашка не перевесила) второго взвешивания, то значит «изменившие свои места» монетки A2A3A4 никак «не сыграли», и ни одна из них не является фальшивой => фальшивка A1 или B1. В ТРЕТЬЕМ взвешивании любую из этих двух монет «сравниваем» с одной эталонной: есть разница => фальшивка на весах, нет разницы => фальшивку не взвешивали. - Если неравенство первого взвешивания изменилось, то есть «передвижения монет» повлияли (чашка перевесила) на результат второго взвешивания, то значит «изменившие свои места» монетки A2A3A4 «сыграли» и фальшивка среди них. Как мы уже выше определились кучка [A1A2A3A4] тяжелее, A1 нефальшивая, значит именно тяжелая фальшивка среди троицы A2A3A4, что на практике означает ТРЕТЬЕ взвешивание любых двух монет из этой тройки (одна тяжелее => она фальшивка, обе «равны» => фальшивку на весы не клали). Вопросы? |
|
Решение №2: |
|
Делим на три кучки A, B, C по четыре монетки в каждой. [A1A2A3A4], [B1B2B3B4 ], [C1C2C3C4]. Взвешивание №1 A1A2A3A4 vs B1B2B3B4 За первое взвешивание выявляем эталонную четверку [NNNN] Результаты: 1) вес одинаковый => (следовательно) фальшивка в кучке [C1C2C3C4]. За следующие два взвешивания узнаем, какая именно. Во втором взвешивании сравниваются [C1C2C3] vs [NNN]. Если “равно”, то фальшивка C4. Если тяжелее/легче, то фальшивка в кучке и [C1C2C3] и эта фальшивка тяжелая/легкая. В третьем взвешивании сравниваем любые две монеты из кучки [C1C2C3] между собой… если “равно”, то фальшивка не взвешивалась, а если «не равно», то фальшивка из двух та, которая тяжелая/легкая. Есть и другой способ
нахождения фальшивки за 2 оставшихся взвешивания из кучки [C1C2C3C4] (способ по парам): в паре [C1C2] берется одна монетка и
сравнивается с одной эталонной монеткой (это второе взвешивание), если весят
одинаково, то фальшивку из пары на весы не клали, если вес разный, то
фальшивка на весах. Третье взвешивание
проводится для другой пары [C3C4] всё то же и так же. 2) Четверки не в равновесии (тяжелее или легче). Запомним какое именно было неравновесие: тяжелее или легче (допустим, что кучка [A1A2A3A4] тяжелее). В результате имеем две "сомнительные" четверки [A1A2A3A4], [B1B2B3B4 ] и одну эталонную, оставшуюся [C1C2C3C4] или уже назовем её как [NNNN]. Во втором взвешивании сравниваются [A1 A2N] vs [B1A3A4 ] (не используются: B2B3B4). - Если вес одинаковый, то фальшивка находится среди неиспользованных монеток B2B3B4 и в данном случае эта троица из лёгкой кучки [B1B2B3B4 ], то есть лёгкая фальшивка в этой тройке должна быть найдена среди B2B3B4, что на практике означает ТРЕТЬЕ взвешивание любых двух монет из этой тройки (одна легче => она фальшивка, обе «равны» => фальшивку на весы не клали). - Если неравенство первого взвешивания не изменилось, то есть «передвижения монет» никак не повлияли на результат (направление неравенства, чашка не перевесила) второго взвешивания, то значит «изменившие свои места» монетки A3A4 никак «не сыграли», и ни одна из них не является фальшивой => фальшивка среди монеток, которые не меняли места: A1 A2 и B1. Итого имеем две монетки из тяжелой кучки [A1A2A3A4], и одну из лёгкой кучки [B1B2B3B4 ]. Одна из трех фальшивая. В ТРЕТЬЕМ взвешивании «сравниваем» две монетки A1 и A2 из одной тяжелой кучки [A1A2A3A4].=> та что тяжелее – фальшивка, а если обе «равны» => фальшивку на весы не клали... и это B1. - Если неравенство первого взвешивания изменилось, то есть «передвижения монет» повлияли (чашка перевесила) на результат второго взвешивания, то значит «изменившие свои места» монетки A3A4 «сыграли» и фальшивка среди них, что на практике означает ТРЕТЬЕ «сравнение» A3 или A4 будет с одной эталонной монетой (не равенство веса => фальшивка на весах, обе «равны» => фальшивку на весы не клали). Вопросы? |
|
Решение №3: |
|
Делим на три кучки A, B, C по четыре монетки в каждой. [A1A2A3A4], [B1B2B3B4 ], [C1C2C3C4]. Взвешивание №1 A1A2A3A4 vs B1B2B3B4 За первое взвешивание выявляем эталонную четверку [NNNN] Результаты: 1) вес одинаковый => (следовательно) фальшивка в кучке [C1C2C3C4]. За следующие два взвешивания узнаем, какая именно. Во втором взвешивании сравниваются [C1C2C3] vs [NNN]. Если “равно”, то фальшивка C4. Если тяжелее/легче, то фальшивка в кучке и [C1C2C3] и эта фальшивка тяжелая/легкая. В третьем взвешивании сравниваем любые две монеты из кучки [C1C2C3] между собой… если “равно”, то фальшивка не взвешивалась, а если «не равно», то фальшивка из двух та, которая тяжелая/легкая. Есть и другой способ
нахождения фальшивки за 2 оставшихся взвешивания из кучки [C1C2C3C4] (способ по парам): в паре [C1C2] берется одна монетка и
сравнивается с одной эталонной монеткой (это второе взвешивание), если весят одинаково,
то фальшивку из пары на весы не клали, если вес разный, то фальшивка на
весах. Третье взвешивание
проводится для другой пары [C3C4] всё то же и так же. 2) Четверки не в равновесии (тяжелее или легче). Запомним какое именно было неравновесие: тяжелее или легче (допустим, что кучка [A1A2A3A4] тяжелее). В результате имеем две "сомнительные" четверки [A1A2A3A4], [B1B2B3B4 ] и одну эталонную, оставшуюся [C1C2C3C4] или уже назовем её как [NNNN]. Во втором взвешивании сравниваются [A1A2A3B1B2] vs [A4NNNN] (не используются: B3B4). - Если вес одинаковый, то фальшивка находится среди неиспользованных монеток B3B4, что на практике означает ТРЕТЬЕ «сравнение» B3 или B4 будет с одной эталонной монетой (не равенство веса => фальшивка на весах, обе «равны» => фальшивку на весы не клали). - Если неравенство первого взвешивания не изменилось, то есть «передвижения монет» никак не повлияли на результат (направление неравенства, чашка не перевесила) второго взвешивания, то значит «изменившие свои места» монетки A4, B1 и B2 никак «не сыграли», и ни одна из них не является фальшивой => фальшивка среди монеток, которые не меняли места: A1A2A3. Эта троица из тяжелой кучки [A1A2A3A4]. В ТРЕТЬЕМ взвешивании «сравниваем» две монетки A1 и A2 => та что тяжелее – фальшивка, а если обе «равны» => фальшивку на весы не клали... - Если неравенство первого взвешивания изменилось, то есть «передвижения монет» повлияли (чашка перевесила) на результат второго взвешивания, то значит «изменившие свои места» монетки A4, B1 и B2 «сыграли» и фальшивка среди них. Проводим ТРЕТЬЕ сравнение: если B1 vs B2 приводит к результату «равно», то раз фальшивка одна, это может быть только A4. Пара B1B2 из лёгкой кучки [B1B2B3B4 ], то есть, если фальшивка в этой паре, то она лёгкая. Вопросы? |
|
Решение №4: |
|
2011-06-15: Решение без применения Четырёх эталонных монеток! Их лучше сразу потратить на личные нужды. Особо страждущим могу показать... А надо ли?... 2011-07-19: Оказывается надо! Итак, друзья, … где-там моя нобелевская премия за отрицание универсальности
дуальных методов… Докажете, что можно «подтянуть» дуальность, с меня бутылка пива пенного… если честно,
сегодня выпить пивка не с кем… Делим на три кучки A,
B, C по четыре монетки в каждой. [A1A2A3A4], [B1B2B3B4 ], [C1C2C3C4]. Взвешивание №1 A1A2A3A4 vs B1B2B3B4 За первое взвешивание
выявляем эталонную четверку [NNNN] И благополучно сразу же тратим 4 эталонных
монетки (без разницы) на «тараньку и пиво», как
говорится русское авось не без истории… вот и тут «прокатило»… Результаты: 1) вес одинаковый =>
(следовательно) фальшивка в кучке [C1C2C3C4]. За следующие два взвешивания узнаем, какая именно. Во втором взвешивании сравниваются [C1C2C3] vs [NNN]. Если “равно”, то фальшивка C4. Если тяжелее/легче,
то фальшивка в кучке и [C1C2C3]
и эта фальшивка тяжелая/легкая. В третьем взвешивании сравниваем любые две монеты из кучки [C1C2C3] между собой… если “равно”, то фальшивка не
взвешивалась, а если «не равно», то фальшивка из двух та, которая
тяжелая/легкая. Есть и другой способ
нахождения фальшивки за 2 оставшихся взвешивания из кучки [C1C2C3C4] (способ по парам): в паре [C1C2] берется одна монетка и
сравнивается с одной эталонной монеткой (это второе взвешивание), если весят одинаково,
то фальшивку из пары на весы не клали, если вес разный, то фальшивка на
весах. Третье взвешивание
проводится для другой пары [C3C4] всё то же и так же. А вот теперь… «отрицаем» или … «полагаем»… 2) Четверки не в равновесии (тяжелее или легче). Запомним
какое именно было неравновесие: тяжелее или легче (допустим, что кучка [A1A2A3A4]
тяжелее). В результате имеем две "сомнительные" четверки [A1A2A3A4], [B1B2B3B4 ] и одну
эталонную, оставшуюся [C1C2C3C4]
или уже назовем её как [NNNN]. Естественно… идем
в магазин и тратим эталоны (см. выше). Во втором взвешивании сравниваются [A1A2B1] vs [B2A3A4]
(не используются: B3B4). - Если вес одинаковый, то фальшивка находится среди
неиспользованных монеток B3B4, что на
практике означает ТРЕТЬЕ «сравнение» “легких“ B3
или B4 (фальшивка
УЖЕ на весах и она та, что легче.
А почему? Остальные, которые стали эталонами,
содержались в кучке «по-тяжелее»…
Элементарно, Ватсон! Дальше та же логика и память на
предыдущие взвешивания). - Если неравенство первого взвешивания не изменилось, то есть «передвижения монет» никак не повлияли на результат (направление неравенства, чашка не перевесила) второго взвешивания, то значит «изменившие свои места» монетки B1 и A3A4 никак «не сыграли», и ни одна из них не является фальшивой => фальшивка среди монеток, которые не меняли места: A1A2 и B2. Третье взвешивание: «сравнение» “тяжелых“ A1 или A2 (не равенство веса => фальшивка на весах и она та, что тяжелее, обе «равны» => фальшивку на весы не клали).… - Если неравенство первого взвешивания изменилось, то есть
«передвижения монет» повлияли (чашка перевесила) на результат второго
взвешивания, то значит «изменившие свои места» монетки B1 и A3A4 «сыграли» и
фальшивка среди них. Третье взвешивание: «сравнение» “тяжелых“ A3
vs A4 (не равенство веса =>
фальшивка на весах и она та, что тяжелее, обе «равны» => фальшивку на весы не клали) тчк Вопросы? |
|
Решение №5: |
|
А надо ли? Вот, нашел линк, где можно наглядно решать такие задачки... А может показать решение загадки Эйнштейна?... |
 |